भारते गणितशास्त्रस्य विस्तारे संस्कृतसाहित्यस्य दानम्
भूमिका
इतिहासपाठात् ज्ञायते सिन्धुसभ्यतायाः परवर्तिनी सभ्यता भवति आर्यसभ्यता। सिन्धुसभ्यताया आनुमानिकः कालः त्रिसहस्रखिस्तपूर्वाब्दात् सार्धसहस्रखिस्तपूर्वाब्दपर्यन्तम्। आर्यसभ्यतायाः प्रारम्भकालः द्विसहस्रखिस्तपूर्वाब्दः। द्विसहस्रखिस्तपूर्वाब्दात् सार्धसहस्रखिस्तपूर्वाब्दस्य मध्ये आर्याणामागमनं तथा भारतवर्षे तेषां वासस्थापनं परिलक्ष्यते। तत्परवर्तिकाले तैः विरचितं साहित्यं संस्कृतसाहित्यम्। संस्कृतसाहित्यं द्विविधम्- वैदिकसाहित्यं लौकिकसाहित्यञ्च।
आर्याणां प्रथमसाहित्यं भवति वैदिकसाहित्यम्। वैदिकसाहित्यस्य विभागचतुष्टयं भवति- संहिता, ब्राह्मणम्, आरण्यकम्, उपनिषद् च। संहिताभागेऽस्ति प्रायशः देवदेवीनां स्तुतिविषयकः मन्त्रः। ब्राह्मणभागेऽस्ति प्रायशः यागानां नियमपद्धतिः। आरण्यकभागेऽस्ति प्रायशः वयस्कानां जीवनधारणपद्धतिः। उपनिषद्भागेऽस्ति प्रायशः पुनर्जन्मवादः, कर्मफलवादः,परमात्मा ब्रह्म इत्यादीनां व्याख्या।
आर्याणां परवर्तिसाहित्यं लौकिकसाहित्यम्। लौकिकसाहित्ये एकत्र परिलक्ष्यते काव्यानां प्राचुर्यमन्यत्र च परिलक्ष्यते शास्त्राणां प्राचुर्यम्। अत्र ज्ञातव्यं यत् वैदिकसाहित्येऽपि शास्त्राणां प्राचुर्यता परिलक्ष्यते। संस्कृतसाहित्यस्य काव्यानां मध्येऽन्यतमानि काव्यानि भवन्ति- वाल्मीकिमुनिना विरचितं रामायणमहाकाव्यं; महर्षिव्यासदेवेन विरचितं महाभारतं; कालिदासेन विरचितं रघुवंशं कुमारसम्भवमिति महाकाव्यद्वयं, मेघदूतम् ऋतुसंहारमिति खण्डकाव्यद्वयं, मालविकाग्निमित्रं विक्रमोएवशीयम्, अभिज्ञानशकुन्तलमिति नाट्यत्रयम्; भारविणा विरचितं किरातार्जुनीयं; महाकविना माघेन विरचितं शिशुपालबधम् – इत्यादीनि काव्यानि उल्लेखयोग्यानि।
अपरपक्षे शास्त्राणां मध्येऽन्यतमानि भवन्ति- दर्शनशास्त्रम्, अलंकारशास्त्रं, धर्मशास्त्रं, राजनीतिशास्त्रं, स्मृतिशास्त्रम्, अभिधानशास्त्रं, लिपिशास्त्रं, छन्दोशास्त्रं, व्याकरणशास्त्रं, ज्योतिष्शास्त्रं, गणितशास्त्रम्, आयुर्वेदशास्त्रं, रसायनशास्त्रं, पशुचिकित्साशास्त्रं, पक्षिविद्या, प्राणिविद्या, रत्नविद्या, चौर्यविद्या, प्रायोगिकविज्ञानं, कृषिविद्या, उद्यानविद्या, भूगोलविद्या, अभिनयशास्त्रं, युद्धविद्या, वास्तुविद्या, यन्त्रशिल्पशास्त्रं, कामशास्त्रं, नीतिशास्त्रं, तन्त्रशास्त्रञ्च।
एतेषां मध्येऽधुनालोच्यविषयो भवति- गणितशास्त्रस्य विस्तारे संस्कृतसाहित्यस्य दानम्।
संस्कृतसाहित्ये गणितचर्चाया उत्पत्तिः
गणितेतिहासविदो वदन्ति- वैदिकयुगस्य शतपथब्राह्मणस्य कालादेव गणितचर्चा प्रारब्धार्थात् संस्कृतसाहित्ये गणितचर्चायाः प्रारब्धकालो भवति प्रायशः द्विसहस्रखिस्ताब्दः। ततः परिलक्ष्यते प्रसङ्गक्रमेण विविधसूत्राणामुल्लेखः शुल्वसूत्रे। न केवलानि सूत्राणि, तत्त्वान्यपि परिलक्ष्यते तत्र। भारतीया मुनयो ज्ञातवन्तो विविधयज्ञवेदीनां निर्माणपद्धतीन्। लेखनार्थं ‘फलकशब्दस्योल्लेखः परिलक्ष्यते। वैदिकसाहित्ये तथा जातकादिबौद्धसाहित्ये प्राचीनज्योतिर्विद्भिः ज्योतिर्विज्ञानस्य विविधसमस्यानां समाधानं धुलिकर्मपद्धत्या कृतम्। धुलिकर्मपद्धतिः भवति छात्राणां शिक्षार्थं फलकस्योपरि रजोनिक्षेपं कृत्वा तत्राङ्गुलिसञ्चालनेन चित्राङ्कनं ततः समाधानम्।
धुलिकर्मपद्धतिसम्पर्के ब्राह्मस्फुटसिद्धान्तस्य दशमाध्यायस्य द्वाषष्ठीतमे श्लोके ब्रह्मगुप्तेनोक्तम्-
“नावार्यो ज्ञातैरपि तन्द्रैरार्यभट-विष्णुचन्द्रादेः।
यो ब्राह्म धुलिकर्म विदाचार्यत्वं भवन्ति तस्य”॥[१]इति।
अर्थात् येन पण्डितेनार्यभट्ट-विष्णुचन्द्रादीनां गणनाशिक्षा कृता, तदधिकं ज्ञानं प्राप्यते व्यक्तिना, येन ब्रह्मगुप्तस्य धुलिकर्मपद्धतिः पठिता।
ब्रह्मगुप्तस्य मते धुलिकर्मपद्धतिः गणितशास्त्रे गुरुत्वपूर्णा। तस्मात् तेनोक्तं ब्राह्मस्फुटसिद्धान्तस्य दशमाध्यायस्यसप्तषष्ठीतमे श्लोके-
“गुरुणा न धुलिकर्म प्रतिकञ्चुककारिणे प्रदात्यव्यम्।
तस्य सुकृत प्रणाशः कुरुते प्रतिकञ्चुकं योऽस्य”॥२इति।
अर्थात् धुलिकर्मपद्धत्याः प्रयोगो येन न कृतः, स निन्दार्हः। अपि च तस्य यशोनाशे आशङ्कास्ति। बौद्धसाहित्ये मुद्रा-गणना-संख्यायनाख्यगणितानामुल्लेखः परिलक्ष्यते। अङ्गुलिभिर्गणना नाम मुद्रा, अङ्गुलिव्यतिरेकेण गणनाकार्यं भवति गणना, संख्यायनं भवति उच्चतरगणितम्। अस्य विभागस्योल्लेखः संस्कृतसाहित्यस्य प्रथमपर्वे न परिलक्ष्यते। हातिगुम्फालेखे लेखनस्य तथा रूपस्य सहायेन गणनापद्धतिरुल्लिखिता। कौटिल्यस्यार्थशास्त्रे संख्यायनस्य कथास्ति। अमरकोषे गणितं संख्यायनञ्च सन्निहितरूपेणास्ति। सर्वोपरि उच्यते भारतवर्षं एवाकासस्य तथा फलकस्यादिगृहं भवति। मतस्यास्य समर्थकानां मध्येऽन्यतमा भवन्ति वेइली-टेलर-वार्णाल-रडेटादयः पाश्चात्यपण्डिताः।
चीनदेशीयेन पर्यटकेनालविरुणा उक्तं तदीयग्रन्थे- भारतवर्षस्य विविधेषु स्थानेषु विविधानि प्रतीकचिह्नानि व्यवह्रीयन्ते। अस्माभिर्व्यवह्रीयन्ते यानि यानि संख्याप्रतीकचिह्नानि, तानि हिन्दूनां सर्वोत्कृष्टसंख्याप्रतीकानि। काश्मीरदेशीयैरधिवासिभिः चीनदेशस्य रीतौ संख्याप्रतीकस्य व्यवहारः कृतः। परन्तु तैर्यदा वालुकायामुपरि गणना कृता तदा प्रतीकव्यवहारः न कृतः।
योगप्रक्रिया
संस्कृतभाषायाः गणितशास्त्रे योगादिचिह्नानां व्यवहारः कथं भूयते तदेव इदानीमालोच्यते। व्यापारेऽस्मिन् वाक्शाल्याः पाण्डुलिपेः कथा मनसि आगच्छति। अत्र योगादीनां कृते व्यवहृतं चिह्नमतीव कौतुहलोद्दीपकम्। प्राचीनगणितशास्त्रे योगप्रक्रियाकाले यु-इत्यक्षरस्य व्यवहारः परिलक्ष्यते। यु-इति भवति युतशब्दस्याद्याक्षरम्। प्राचीनगणितशास्त्रे योगशब्दस्य परिवर्ते संकलित-संकलन-मिश्रण-सम्मेलन-संयोजन-प्रक्षेपण-युत्यभ्यासादिशब्दानां प्रयोगः परिलक्ष्यते। योगप्रक्रियाविषये विस्तृतालोचना द्वितीयार्यभट्टेन तथा द्वितीयभास्कराचार्येण कृता। अपि च संक्षेपेणालोचना कृता श्रीधराचार्येण तथा महावीराचार्येण। एतत्सम्पर्के लीलावतीति ग्रन्थस्य द्वितीयाध्यायस्य प्रथमपरिच्छेदस्य द्वादशतमे श्लोके द्वितीयभास्कराचर्येणोक्तम्-
“कार्यः क्रमादुक्तमतोऽथवाङ्कयोगो यथास्थानकमन्तरंवा”।३इति।
अर्थात् संख्यानां योगस्तेषां स्थानानुसारेण ग्रहणीयः। वियोगस्तेषां पार्थक्यानुसारेण ग्रहणीयः।
नियमकथनात् परं विषयेऽस्मिन् सुन्दरमुदाहरणं द्वितीयभास्कराचार्येणोक्तम्। तेनोक्तम्-
“अयि बाले लीलावति मतिमूर्ति ब्रुहि सहितान् द्विपञ्च द्वात्रिंशत् त्रिनवति शताष्टादश दश। शतो पेतानेतानयुत वियुतांश्चापि वदमे यदि वक्त्रेयुक्ति व्यवकलन मार्गेऽसि कुशला”।४इति।
अर्थात् हे बुद्धिमति कन्ये लीलावति! यदि त्वं योगवियोगयोर्व्यापारे न दक्षा भवसि, तर्हि वद द्वि-पञ्च-द्वात्रिंशत्-त्रिनवत्यधिकशत-अष्टादश-शत-संख्यानां योगफलम्। अपि च, अयुतसंख्यायाः अस्य योगफलस्य वियोगं कुरु। अस्य गाणितिकरूपं भवति-
२+५+३२+१९३+१८+१०+१००=३६०
१००००-३६०=९६४०
वियोगप्रक्रिया
इदानीं प्राचीनगणितशास्त्रे वियोगचिह्नस्य व्यवहारविषये आलोच्यते। एतद्विषये वाक्शाली नाम पाण्डुलिपिरुल्लेखयोग्या। अस्यां पाण्डुलिपौ वियोगप्रक्रियायाः प्रतीकरूपेण ‘+’ इति चिह्नं व्यवह्रीयते। चिह्नमिदं तस्याः संख्यायाः परमुल्लेखनीयं मूलसंख्याया यस्या वियोगः कर्तव्यः। दृष्टान्तरूपेणोच्यते-
१३ ६+ (१३-६)= ७
परवर्तिगणितशास्त्रे अस्य चिह्नस्य प्रयोगविषये संशयोऽस्ति। साधारणतः वियोगप्रक्रियाकाले ‘ऋ’-वर्णो व्यवह्रीयते। ऋ-वर्णोऽयं ‘ऋण’-शब्दस्याद्याक्षरम्। केषाञ्चित् पण्डितानां मते ऋ-वर्णस्य क्रमोन्नतेः कारणात् ‘+’ इति चिह्नस्य व्यवहारः प्राचीनगणितशास्त्रे परिलक्ष्यते। अशोकस्य लिप्याः ‘क’-वर्णेन सह ‘+’इति चिह्नस्य सादृश्यं परिलक्षितमनेकैः पण्डितैः। ह्येर्णल-महोदयस्य मते ‘क’-वर्णोऽयं कनीयस्शब्दाद् न्यूनशब्दाद्वागतः५। ऐतिहासिकस्य विभूतिभूषणमहोदयस्य मते संस्कृतस्य क्षयशब्दस्य क्रमविकाशेन ‘+’ इति चिह्नं गणितशास्त्रे आगतम्। पृथुदकस्वामी इत्यादयो गणितविदः वियोगप्रक्रियाज्ञापनार्थं संख्याया उपरि ‘ . ’ इति चिह्नं प्रयुक्तवन्तः। दृष्टान्तरूपेणोच्यते-
१२ ७. =५
संस्कृतगणितशास्त्रे वियोगशब्दस्य परिवर्ते व्युत्कलित-व्युत्कलन-शोधन-पातन-अन्तर-वियोज्यादिशब्दानां प्रयोगः परिलक्ष्यते।
गुणनप्रक्रिया
संस्कृतभाषाया गणितशास्त्रे गुणनशब्दस्य परिवर्ते हनन-बध-क्षयादिशब्दानां व्यवहारः परिलक्ष्यते। खिस्तपूर्वाष्टशतके शुल्वसूत्रेषु अभ्यासशब्दस्य व्यवहारः परिलक्ष्यते। शब्दोऽयं कदापि योगस्य परिवर्ते; कदापि वा गुणनस्य परिवर्ते व्यवह्रीयते। वाक्शाली नाम पाण्डुलिपौ गुणनस्य परिवर्ते ‘परस्परकृतक’-शब्दस्य व्यवहारः परिलक्ष्यते। अपि च ब्राह्मस्फुटसिद्धान्तः, त्रिशतिका, सिद्धान्तशेखरः, लीलावती इत्यादिग्रन्थेषु व्यापकरूपेण गुणनस्य संज्ञा उदाहरणञ्च प्राप्यते।
गुणनस्य पद्धतय आसन् विविधाः। ब्रह्मगुप्तेन गुणनस्य गोमूत्रिक-खण्ड-वेधेष्टाख्यं प्रकारचतुष्टयमुल्लिखितम्। श्रीधराचार्येणापि कपाटसन्धि-तस्थ-रूपविभाग-स्थानविभागाख्यं गुणनस्य प्रकारचतुष्टयं स्वीकृतम्। अस्य मतवादो महावीरेणानुसृतः। गुणनस्य पञ्चविधाः प्रकाराः श्रीपतिना द्वितीयभास्कराचार्येण चोल्लिखिताः।
गोमूत्रिकपद्धतिसम्पर्के ब्रह्मगुप्तेनोक्तम्-
“गुणकारखण्डतुल्यो गुण्यौ गोमूत्रिकाकृतो गुणितः।
सहितः प्रत्युत्पन्नो गुणकारभेदतुल्यो वा”६॥५५॥
अर्थात् गुणकसंख्यायाः खण्डनं कृत्वा तत्र गुण्यं स्थापयित्वा गोमूत्रिकरूपेण गुणनं कृत्वा ततः योगः कर्तव्यः। अस्याः प्रक्रियाया गाणितिकरूपं भवति-
१३×१५८=(६+७)×१५८=६×१५८+७×१५८
=९४८+११०६
=२०५४
इष्टगुणनसम्पर्के ब्रह्मगुप्तेनोक्तम्
“गुण्यो राशिर्गुणकारराशिनेष्टाधिकोनकेन गुणः।
गुणयोष्टवधो न युतो गुणकेऽभ्यधिकोनके कार्यः”७॥५६॥
अर्थात् गुणकेन सह कस्याश्चित् इष्टसंख्यायाः योगं वियोगं वा कृत्वा तद्वारा गुण्यस्य गुणनं कर्तव्यम्। अतःपरं तया इष्टसंख्यया गुणनं कृत्वा पूर्वफलाद् वियोगो योगो वा कर्तव्यः। दृष्टान्तरूपेणोच्यते-
९३×१३=(९३+७)×१३-७×१३=१३००-९१=१२०९
९३×१३=(९०+३)×१३=९०×१३+३×१३=११७०+३९=१२०९
लीलावती इति ग्रन्थे द्वितीयभास्कराचार्येण गुणसम्पर्के विस्तारितरूपेणालोचना कृता। तत्र तेनोक्तम्-
“गुण्यान्त्यमङ्कं गुणकेन हन्यादुत्सारि तेनैवमुपान्तिमादीन्। गुण्यस्त्वधोऽधोगुण खण्डतुल्यस्तैः खण्डकैः सङ्गुणि तो युतो वा। भक्तोगुणः शुध्यति येन तेन लव्ध्या च गुण्यो गुणितः फलं वा। द्विधा भवेदुपविभाग एवं स्थानैः पृथग् वा गुणितः समेतः इष्टोनयुक्तेन गुणेन निघ्नोऽभीष्टघ्न गुण्यान्वित वर्ज्जितो वा”८।
अस्य सरलार्थो भवति- प्रथमतः गुण्यस्य शेषाङ्कस्य गुणकेन गुणनं कर्तव्यम्। ततः परवर्तिनोऽङ्कस्य, ततः तत्परवर्तिनोऽङ्कस्य गुणकेन गुणनं कर्तव्यम्। द्वितीयतः गुणकेन वा पृथक् पृथग्रूपेण प्राक् गुण्यस्य गुणनं कर्तव्यम्। ततः सर्वसंख्यानां योगः कर्तव्यः। तृतीयतः गुणकं वा अनेकांशे विभज्य तैः सह गुण्यस्य गुणनं कर्तव्यम्। चतुर्थतः पृथक् पृथग्रूपेण स्थानीयसंख्यानां गुणनं कर्तव्यं, ततः सर्वेषां योगः कर्तव्यः। पञ्चमतः संख्याया मानं बर्धयित्वा संख्यामानस्य वा न्यूनं कृत्वा, तद्द्वारा गुण्यस्य गुणनं कर्तव्यं, ततः गुणफलस्य योगो वियोगो वा कर्तव्यः।
लीलावतीग्रन्थे उदाहरणसहयोगेन द्वितीयभास्कराचार्येण सूत्राणां प्रयोगः प्रदर्शितः। तेनोक्तम्-
“बाले बालकुरङ्गलोलनयने लीलीवति प्रोच्यतां पष्णत्येक मितादिवाकरगुणा अङ्काः कतिस्युर्यदि। रूपस्थानविभाग खण्ड गुणने कल्याणि कल्याणिनि छिन्नान्तेन गुणेन ते च गुणिताजाताः कति स्युर्वद”९।
अर्थात् हे मृगशावकस्य इव चञ्चलनयने कन्ये लीलावति! पञ्चत्रिंशदधिकशतस्य गुणनं द्वादशेन किं भविष्यति? विविधप्रकारैस्तेन समाधानं कृतम्।
तेनोक्तम्-“ न्यासः। गुण्यः १३५। गुणकः १२। गुण्यन्तमङ्क गुणकेन हन्यादिति कृते ज्ञातम् १६२०। अथवा गुणरूपविभागे खण्डकृते ८+४=१२। आभ्यां पृथग् गुण्ये गुणिते युते च जातं तदेव १६२०”१०।
अर्थात् दृष्टान्तः। गुण्यः १३५। गुणकः १२। गुण्यस्य शेषाङ्कस्य गुणकेन सह गुणनेन १६२० भवेत्। खण्डं खण्डं वा कृत्वा गुणने कृते (यथा प्रथमे ८ द्वारा ततः ४ द्वारा) १०८० संख्या, ५४० इति संख्या च प्राप्यते। ततः संख्याद्वयस्य योगः कार्यः। गाणितिकभाषायां रूपं भवति-
१२×१३५=(८+४)×१३५=८×१३५+४×१३५=१०८०+५४०=१६२०
अथवा ‘‘गुण्यकस्त्रिभिर्भक्तोलव्धम्। ४। एभिस्त्रिभिः। ३ वा गुण्ये गुणिते जातं तदेव। १६२०”११।
अर्थात् अथवा ३ द्वारा गुणकस्य भागे कृते या संख्या प्राप्यते तया सह ३ संख्यया सह च गुण्यस्य गुणनं कर्तव्यम्। ततः संख्याद्वयस्य योगे कृते १६२० भवेत्।
अथवा “स्थानविभागे खण्डे १। २। आभ्यां पृथग् गुण्ये गुणिते यथास्थानयुते च जातं तदेव। १६२०”१२।
अर्थात् १२ इति संख्यायाः स्थानविभागं कृत्वा प्रथमे २ इति द्वारा ततः १ इति द्वारा गुणनं कर्तव्यम्। ततः उभयोर्योगे १६२० भवेत्।
अथवा “द्व्युनेन (१०) द्वाभ्याञ्च(२) पृथग् गुण्ये गुणिते युते च जातं तदेव १६२०”१३।
अर्थात् १२ इत्यस्मात् २ इति वियोगं कृत्वा अर्थात् १० द्वारा ततः २ द्वारा गुण्यस्य गुणनं कर्तव्यम्। अवशेषे योगे कृते १६२० भवेत्। गणितस्य भाषायाम्-
१२×१३५=१०×१३५+२×१३५=१३५०+२७०=१६२०
अथवा “इष्टयुतेन गुणेन (२) गुण्ये गुणितेऽष्ट(८) गुणित गुण्य हीने च जातं तदेव १६२०”१४।
अस्यार्थो भवति- अथवा गुणकेन सह ८ योगः कर्तव्यः। अतः २० भवेत्। ततः तेन सह गुण्यस्य गुणनं कर्तव्यम्। अपि च गुण्येन सह ८ इत्यस्य गुणनं कर्तव्यम्। अवशेषे वियोगः कर्तव्यः। एतत्कृते १६२० भवेत्।
गणितस्य भाषायाम्-
१२×१३५=(२०-८)×१३५=२०×१३५-८×१३५=२७००-१०८०=१६२०
भागप्रक्रिया
संस्कृतभाषाया गणितशास्त्रे साधारणभागसम्पर्के बहुविधालोचना परिलक्ष्यते विविधैर्गणितज्ञैः। एतेषां मध्ये उल्लेखयोग्या भवन्ति ब्रह्मगुप्त-श्रीधराचार्य-महावीर-द्वितीयार्यभट्ट-द्वितीयभास्कराचार्यादयः। प्रथमार्यभट्टस्य आर्यभट्टीये भागसम्पर्के कापि अलोचना नासीत्। तथापि ‘एतद्विषये स किमपि नाजानत्’- एतद् वक्तव्यं न समीचीनम्। यतो हि तेन वर्ग-वर्गमूल-घन-घनमूलादीनामालोचना कृता। अतः भागसम्पर्के तस्य ज्ञानमासीत्। वाक्शाली नाम पाण्डुलिपौ उल्लिखितेषु उदाहरणेषु अस्य प्रयोगः परिलक्ष्यते।
प्राचीनगणितशास्त्रे भागप्रक्रिया साधारणतः भागहारः, भाजनं, हरणं, छेदनमित्यादिभिः शब्दैः भूषिता। लवः भाज्य-हारशब्दाभ्यां, हरश्च भाजक-भागहर-शब्दाभ्यां सूचितः। तत्र भागफलस्य समार्थकशब्दः ‘लव्विशब्दो व्यवह्रीयते।
लीलावतीग्रन्थे द्वितीयभास्कराचार्येणोक्तम्-
“भाज्याद्धरः शुध्यति यद्गुणः स्यादान्याद् फलं तत् खलु भागहारे। समेन केनाप्य प्रवर्त्त्य हार भाज्यौ भजेद्वा सति सम्भवे तु”१५।
महावीरेणोक्तं गणितसारसंग्रहे-
“विन्यस्य भाज्यमानं तस्याधःस्थेन भागाहारेण।
सदृशापर्वताविधिना भागं कृत्वा फलं प्रदेत”॥१६
अर्थात् भाज्यस्य प्राग् विन्यासं कृत्वा तस्मात् क्षुद्रतरेण भाजकेन भागं कृत्वा भागफलं निर्णेयम्। तत्र सुन्दरमेकमुदाहरणं महावीरेण प्रदत्तम्। तेनोक्तम्-
“रूपाग्रसप्तविंशतिशतानि कनकानि यत्र भाज्यन्ते।
सप्तत्रिंशतपुरुषैरेकस्यांशं ममाचक्ष्व”॥१७
अर्थात् २७०० संख्यकाः स्वर्णखण्डाः ३७ जनानां मध्ये विभज्याः। तर्हि प्रत्येकस्य जनस्य स्वर्णमूद्रा कति भविष्यति? वद।
भागसम्पर्के ब्रह्मगुप्तेनोक्तं ब्राह्मस्फुटसिद्धान्तस्य अष्टादशतमाध्यायस्य त्रिंशत्तमश्लोके-
“धनभक्तं धनमृणहृतमृणं धनं भवति खं खभक्तं खम्।
भक्तमृणेन धनमृणं धनेन हृतमृणमृणं भवति”१८॥
अर्थात् धनात्मकेन धनात्मके भागे, ऋणात्मकेन ऋणात्मके भागे च सति भागफलमृणात्मकं भवेत्।
आधुनिकगणितस्य भाषायाम्-
a /b = a/b
-a/-b = a/b
-a/b = -a/b
a/-b = -a/b
संस्कृतभाषायां पाटीगणितम्
पाटीशब्दो विशुद्धः संस्कृतशब्दो न वेति विषये मतभेदः परिलक्ष्यते। यतो हि प्राचीनभारतस्य कस्मिंश्चित् साहित्ये पाटीशब्दस्योल्लेखो न परिलक्ष्यते। अमरकोषे, निरुक्ते, हलायुधस्याभिधानरत्नमालायामपि शब्दोऽयं न परिलक्ष्यते। पञ्चचत्वारिंशदधिकपञ्चदशतमे खिस्ताब्दे भारतस्य गणितविदा गणेशेन पाटीशब्दसम्पर्के उक्तम् –योगादिप्रकरणानां क्रमविकाश एव पाटी। पाटीशब्दस्यार्थो मुनीश्वरेण ‘परिपाटी’ इति कृतः। परिपाटी इति संस्कृतशब्दः। श्ब्दोऽयममरकोषे परिलक्ष्यते। (कथ्यभाषायां पाटीशब्दस्यार्थो फलकम्) फलकम्(पाटी) इति शब्दविषये प्राच्य-पाश्चात्यपण्डितयोर्मध्ये मतपर्थक्यं परिलक्ष्यते। बालकृष्णदीक्षितस्य मते भारतीयज्योतिर्विद्भिः काष्टफलकं व्यवह्रीयते। तस्मात् फलकशब्दो भारतीयगणितशास्त्रे आगतः। ड. वि.वि.दत्तमहोदयेनोक्तम्- पाटीगणितमिति शब्दः सप्तमशतके भारतीयगणितशास्त्रे परिलक्ष्यते आङ्गलभाषायां, यस्य नाम ‘एरिथमेतिक्’ इति। भारतीयगणितशास्त्रे तस्य नाम पाटीगणितम्। दृष्टान्तरूपेणोच्यते- श्रीधराचार्यस्य ग्रन्थो भवति पाटीगणितसारः। मुनीश्वरेण तस्य ग्रन्थस्य नामकरणं कृतं पाटीसार इति।
संस्कृतभाषायाः बीजगणितम्
आङ्गलभाषाया यस्य नाम आलजाव्रा इति, प्राचीनभारतीयगणितशास्त्रेऽस्य नाम बीजगणितम्। पण्डितैरनुमीयते यत् बीजगणितमिति शब्दस्य व्यवहारः कृतः पृथुदकस्वामिना। ब्रह्मगुप्तेन बीजगणितस्य नामकरणं कुट्टकगणितं कुट्टकं वा कृतम्। अस्य नामकरणस्य उत्स आसीत् ‘कुट्टन’इति शब्दात्। यस्यार्थः चुर्णनं विश्लेषणं वा। परवर्तिकाले बीजगणितस्य नाम भवति अव्यक्तगणितम्। शब्दोऽयं बीजगणितसम्पर्के भारतीयानां सम्यक्धारणायाः तथा स्वच्छधारणायाः परिचायकः। यतो हि अज्ञातराशिसम्पर्के (यस्य मानमज्ञातम्) आलोचना एव बीजगणितस्य प्रधानवैशिष्ट्यम्।
बीजगणितसम्पर्के द्वितीयधास्कराचार्येणोक्तम्-
“बीजं मतविधिवर्णसहायिणी हि मन्दावबोधविधये विवुधैर्निजाद्यैः विस्तारिता गणकतामरसांशुमद्भिर्या सैव बीजगणिताताह्वयतामुपेता”।
अर्थात् विधिवर्णसहायताकारिणी बुद्धिरेव बीजगणितम्। अत्र यद्यपि बीजगणितस्य संज्ञा सुष्टुरूपेण न प्राप्यते, परन्तु पाटीगणितबीजगणितयोः पार्थक्यनिरूपणकाले स्पष्टरूपेण द्वितीयभास्कराचार्येणोक्तम्-
द्विविधगणितमुक्तं व्यक्तमव्यक्तसंज्ञम्।
व्यक्तं पाटीगणितमव्यक्तं बीजगणितम्॥१९
अर्थात् व्यक्ताव्यक्तभेदेन गणितं द्विविधम्। पाटीगणितं व्यक्तगणितं बीजगणितञ्चाव्यक्तगणितम्।
अत उपसंहारे उच्यते गणितशास्त्रस्य विस्तारे प्रसारे च संस्कृतसाहित्येऽन्तर्भूक्तस्य प्रचीनगणितशास्त्रस्य अवदानमनस्वीकार्यम्। वर्तमानकाले उच्चतरगणितचर्चायामपि संस्कृतस्य गणितशास्त्राणां तथा गणितज्ञानामवदानमवर्णनीयम्।इति शम्।
[१]प्राचीनभारते गणितचर्चा,पृष्ठाङ्कः-७४
२ तत्रैव,पृष्ठाङ्कः-७५।
३ तत्रैव,पृष्ठाङ्कः-९८।
४ तत्रैव,पृष्ठाङ्कः-९।
५ हिस्ट्री अफ् प्लास् एण्ड माइनास्, आइ.जे.एइच्.एस्.,भलिउम्-२,पृष्ठाङ्कः-४७-५१।
६ प्राचीनभारते गणितचर्चा, पृष्ठासंख्या-९९।
७ तत्रैव,पृष्ठाङ्कः-१००।
८ तत्रैव।
९ तत्रैव,पृष्ठाङ्कः-१०१।
१० तत्रै।
११ तत्रैव,पृष्ठाङ्कः-१०।
१२ तत्रै।
१३ तत्रैव।
१४ तत्रै।
१५ तत्रैव,पृष्ठाङ्कः-१०।
१६ तत्रै।
१७ तत्रै।
१८ तत्रैव,पृष्ठाङ्कः-१९।
१९ तत्रैव,पृष्ठाङ्कः-१८४।
ग्रन्थसूची
१ प्रदीपकुमारमजुमदारकृतः ‘प्रचीन भारते गणितचर्चा’ इत्याख्यः ग्रन्थः ‘ग्रन्थमेला’ इत्याख्यसंस्थानतः कलिकातायां १४०६ तमे वङ्गाब्दे प्र्काशितः।
२ प्रदीपकुमारमजुमदारकृतः ‘प्रचीन भारते ज्यामिति चर्चा’ इत्याख्यः ग्रन्थः ‘पश्चिमवङ्ग-राज्य-पुस्तक-पर्षद्’ इत्याख्यसंस्थानतः कलिकातायां १९९२ तमे खिस्ताब्दे प्र्काशितः।
३ प्रदीपकुमारमजुमदारकृतः ‘प्रचीन भारते त्रिकोणमिति चर्चा’ इत्याख्यः ग्रन्थः ‘पश्चिमवङ्ग-राज्य-पुस्तक-पर्षद्’ इत्याख्यसंस्थानतः कलिकातायां १९८९ तमे खिस्ताब्दे प्र्काशितः।
४ प्रदीपकुमारमजुमदारकृतः ‘ए डिक्सेनारि अफ् स्यंस्क्रिट्-इङ्लिस् टेंनिक्याल् ट्राम्(भलिउम्-१ म्याथम्याटिक्स्)’ इत्याख्यः ग्रन्थः ‘संस्कृत-साहित्य-परिषद्’ इत्याख्यसंस्थानतः कलिकातायां २०११ तमे खिस्ताब्दे प्र्काशितः।
५ प्रदीपकुमारमजुमदारकृतः ‘गणितशास्त्र- आमादेर दृष्टिते’ इत्याख्यः ग्रन्थः ‘ओएस्ट-वेङ्गल-स्टेट्-वोर्ड’ इत्याख्यसंस्थानतः कलिकातायां १९८१ तमे खिस्ताब्दे प्र्काशितः।
६ प्रदीपकुमारमजुमदारकृतः ‘भारतीय ज्यामिति शास्त्रे महर्षि वौधायन’ इत्याख्यः ग्रन्थः ‘विश्ववाणी’ इत्याख्यसंस्थानतः कलिकातायां १३७९ तमे वङ्गाब्दे प्र्काशितः।
७ विभूतिभूषण-दत्तकृतः ‘ज्यामितिशास्त्रे प्राचीन हिन्दुनाम ओ तार प्रसार’ इत्याख्या साहित्य-परिषद्-पत्रिका,१३३७ तमे वङ्गाब्दे प्रकाशिता।
८ पत्रिका-अङ्कभावना ,प्रथमवर्षस्य प्रथमसंख्यायां १९६५ तमे खिस्ताब्दस्य जानुयारिमासे प्र्काशितः।
९ विजनमोहनमहोदयेन कृतः ‘हिस्ट्री अफ् प्लास् एन्ड् माइमास् साइन्’ इत्याख्यः ग्रन्थः१९६७ खिस्ताब्दे प्रकाशितः।
लेखकः - ड. पियूष-कान्ति-पालः